Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.)

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟΝ Μ.Κ.Δ.

A΄ ΤΡΟΠΟΣ: Ο ΚΛΑΣΙΚΟΣ (η σιγουριά)

Για να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσοτέρων αριθμών:

1. Υπολογίζουμε τους διαιρέτες των αριθμών.

2. Βρίσκουμε τους κοινούς.

3. Παίρνουμε τον μεγαλύτερο.

Για παράδειγμα, θέλουμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12, 20, 30.

Υπολογίζουμε τους διαιρέτες τους:

12:  1,  2,  3,  4,  6,  12

20:  1,  2,  4,  5,  10,  20

30:  1,  2,  3,  5,  6,  10,  15,  30

Κοινοί διαιρέτες: 1,  2

Άρα Μ.Κ.Δ._{(12, 20, 30)} = 2

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Επειδή οι διαιρέτες υπάρχουν σε ζευγάρια (π.χ. 12 = 1 x 12, ή 2 x 6, ή 3 x 4), όταν φτάσουμε σε δύο διπλανούς αριθμούς που αποτελούν ζευγάρι (προσέξτε τα υπογραμμισμένα ζευγάρια πιο πάνω) τότε οι υπόλοιποι διαιρέτες είναι απλώς τα ζευγάρια των προηγούμενων αριθμών από το ζευγάρι.

Π.χ. Διαιρέτες του 12: Βρίσκω το 1, το 2, το 3, το 4. Βλέπω πως 3 x 4 = 12. Επομένως οι υπόλοιποι διαιρέτες είναι απλώς τα ζευγάρια των υπολοίπων, δηλ. του 2 και του 1, (το 6 και το 12).

Σε περίπτωση που έχω έναν αριθμό ο οποίος δημιουργείται από τον πολλαπλασιασμό κάποιου αριθμού με τον εαυτό του (π.χ. 4 = 2 x 2,  9 = 3 x 3,  16 = 4 x 4,  25 = 5 x 5, κλπ.) τότε φυσικά δεν περιμένω να βρω το κεντρικό ζευγάρι, αλλά μόνον έναν αριθμό.

Π.χ. Διαιρέτες του 36: Βρίσκω το 1, το 2, το 3, το 4, το 6. Φτάνω στο 6 και θυμάμαι πως 6 x 6 = 36. Άρα οι υπόλοιποι διαιρέτες είναι τα ζευγάρια των αριθμών πριν το 6:  4, 3, 2 και 1. Δηλ. οι 9,  12,  18,  36.

  

Β΄ ΤΡΟΠΟΣ: Ο ΠΡΟΦΟΡΙΚΟΣ (η σκέψη)

1. Παίρνουμε τον μικρότερο αριθμό και βλέπουμε αν διαιρεί (εννοείται ακριβώς) τους υπόλοιπους.
Αν τους διαιρεί, αυτός είναι ο Μ.Κ.Δ.

2. Αν δεν διαιρεί έστω και έναν παίρνουμε τον (μικρότερο) αριθμό δια 2.
Αν ούτε αυτός τους διαιρεί, παίρνουμε τον (μικρότερο) αριθμό δια 3, κλπ.
Συνεχίζουμε μέχρι να βρούμε τον αριθμό που διαιρεί όλους τους υπόλοιπους.
(Στην χειρότερη περίπτωση, αν οι αριθμοί είναι άσχετοι μεταξύ τους, ο Μ.Κ.Δ. τους θα είναι το 1.)

Για παράδειγμα, θέλουμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12,  20,  30.

i. Παίρνουμε το 12 (τον μικρότερο).
Δεν διαιρεί το 20.

ii. Χωρίς να εξετάσουμε αν διαιρεί το 30 (μας αρκεί που δεν διαιρεί το 20),
παίρνουμε το 12:2, δηλαδή το 6.
Ούτε αυτό διαιρεί το 20.

iii. Παίρνουμε το 12:3, δηλαδή το 4.
Βλέπουμε πως το 4 διαιρεί το 20, αλλά όχι και το 30.

Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο:

iv. Παίρνουμε το 12: 4, δηλ. το 3.
Δεν διαιρεί το 20. Χωρίς να εξετάσουμε το 30, πάμε παρακάτω.

v. Παίρνουμε το 12:5.
Δεν μας δίνει ακέραιο αποτέλεσμα. Το αφήνουμε.

vi. Παίρνουμε το 12:6, δηλ. το 2.
Βλέπουμε πως το 2 διαιρεί (ακριβώς) και το 20 και το 30.

Άρα Μ.Κ.Δ._{(12, 20, 30)} = 2

  

 Γ΄ ΤΡΟΠΟΣ: Ο ΕΥΚΟΛΟΣ (το κόλπο)

1. Βάζουμε στην σειρά τους αριθμούς για τους οποίους θέλουμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ.

2. Από κάτω ξαναγράφουμε τον μικρότερο αριθμό.
Κάτω από τους άλλους γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με αυτόν τον αριθμό.

   Για παράδειγμα, θέλουμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12, 20 και 30.
Κάτω από το 12 ξαναγράφουμε το 12.
Κάτω από το 20 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 20:12, δηλ. το 8.
Κάτω από το 30 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 30:12, δηλ. το 6.

12	20	30
12	8	6

3. Συνεχίζουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μέχρι να φτάσουμε στο σημείο να έχουμε παντού 0 εκτός από έναν αριθμό, ο οποίος και θα είναι ο Μ.Κ.Δ.

    Στην δεύτερη σειρά, τώρα, έχουμε το 12, το 8 και το 6.
Κάτω από το 6 (το μικρότερο) ξαναγράφουμε το 6.
Κάτω από το 12 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 12: 6, δηλ. το 0.
Κάτω από το 8 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 8:6, δηλ. το 2.

12	20	30
12	8	6
0	2	6

4. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο:

Κατεβάζουμε το 2, κλπ.

12	20	30
12	8	6
0	2	6
0	2	0

5. Φτάσαμε επομένως στο σημείο όπου στην τελευταία σειρά έχουμε έναν αριθμό (το 2)  και τα υπόλοιπα είναι 0.

Άρα Μ.Κ.Δ._{(6, 10, 12)} = 2.